مرحباً بك في إجابة - موسوعة الأسئلة والإجابات الحرة
اطرح سؤالاً:


حساب زوايا المثلث

من إجابة
اذهب إلى: تصفح, البحث
Question red.png

سـؤال

ما هي الطرق التقريبية الممكن بها حساب زوايا المثلث بدلالة نسبها المثلثية والعكس؟

محتويات

[عدل]

رد

توجد طرق عديدة لحساب زوايا المثلث بدلالة نسبها المثلثية والعكس وتختلف استعمالاتها حسب متطلبات الحساب. قديماً حيث لم يكن الحاسب قد ظهر بعد كانت توضع جداول خاصة بالنسب المثلثية وحساباتها لعدد من المراتب العشرية بتدرج قدره درجة واحدة. تفيد هذه العملية حينما لا تتوفر الحواسيب أو الآلات العلمية التي تدعم الحساب المثلثي. في الوقت الحاضر لا نحتاج لهذه الجداول إلّا نادراً بفضل الحواسيب والآلات الحديثة. مع ذلك ينبغي أن نعلم أن الحواسيب لا تملك قاعدة بيانات ضخمة للحسابات المثلثية ببالغ الدقة وإنّما تفيد من خوارزميات رياضياتية بحتة في حساب هذه العمليات وهذا يعني أن بإمكاننا تنفيذ نفس الخوارزمية بالورقة والقلم لحساب الدوال المثلثية والزوايا ببالغ الدقة. من هذه الطرق الحديثة منشور ماكلورين والكسور المستمرة. انظر مثلاً كيف يمكن حساب قوس أو معكوس ظل الزاوية بدون آلة حاسبة متقدمة؟، كيف يمكنني إيجاد جيب الزاوية من درجتها (بدون أطوال الأضلاع)؟، العلاقة بين أضلاع المثلث وزواياه

مع ذلك فإن الطالب المبتدئ على هذه الطرق لا يملك خبرة كافية عن منشور ماكلورين أو الكسر المستمر وبالتالي فهو يرغب باللجوء لطرق أخرى مألوفة من المتطابقات المثلثية مثل صيغ المجموع والفرق في دوال الجيب، جيب التمام والظل.هذه الطرق تشترط تعريف مسبق لقيمتين حتى يمكن استنباط قيمة ثالثة بنفس الدقة. مع ذلك يمكن أيضاً الإفادة من هذه الطرق في إيجاد قيم تقريبية دون احتساب دقة عالية عندما تكون أحد الزوايا أو الفروقات النسبية صغيرة جداً وبالتالي يمكن الإفادة من قانون نهاية دالة الجيب لتقريب الزوايا الصغيرة ومساواتها بنسبها المثلثية.

من النهايات نعلم أن


نهـــــا
س←0
جا س
س
= 1

هذا يسمح لنا باستعمال العلاقة أيضاً للزوايا الصغيرة المقدرة بالراديان ولكن بشكل تقريبي وليس دقيق بحيث يمكن القول أن

جا س
س
≈ 1 ، س زاوية صغيرة مقدرة بالراديان.

أو بطريقة أخرى

جا س ≈ س للزاويا الصغيرة المقدرة بالراديان.

بالمثل يمكن القول أن

ظا س ≈ س للزاويا الصغيرة المقدرة بالراديان.
جتا س ≈ Sqrt ar.png1-س2 للزاويا الصغيرة المقدرة بالراديان.

يمكن تقريب علاقة جيب التمام بصورة أبسط ولكن أقل دقة بحيث تساوي الواحد الصحيح مباشرة.

إذا لم تكن قيمة الزاوية بالراديان وإنما بالدرجات فينبغي تحويلها عبر العامل ط \ 180 أو 3.1416\180. تصبح العلاقات السابقة إذا كانت الزاوية بالدرجات على الصورة:

جا س ≈ 3.1416×س\180 للزاويا الصغيرة المقدرة بالدرجات.
ظا س ≈ 3.1416×س\180 للزاويا الصغيرة المقدرة بالدرجات.
جتا س ≈ Sqrt ar.png1-(3.1416×س\180)2 ≈ 1 للزاويا الصغيرة المقدرة بالراديان.

هذه العلاقة تفيد كثيراً في حساب زوايا مجاورة لزوايا أخرى شهيرة معلومة النسب المثلثية. مثال ذلك عند احتساب زوايا مجاورة للزاوية 30 أو مجاورة للزاوية 45 درجة بحيث يمكن كتابة الزاوية حيئذ بالصورة: س = 30 + د حيث د يمثل الفرق النسبي والذي يصبح هنا زاوية صغيرة يمكن تطبيق

جا س = جا(30 + د) = جا30 جتا د + جتا30 جا د = 0.5 جتا د + Sqrt ar.png3\ 2 جا د

وذلك من متطابقة المجموع المثلثية. يمكن بعدها استخدام العلاقات السابقة التقريبية عليها بحيث تصبح بالصورة

جا س = جا(30 + د) = جا30 جتا د + جتا30 جا د = 0.5 جتا د + Sqrt ar.png3\ 2 جا د ≈ 0.5 + Sqrt ar.png3\ 2 × 3.1416×د\180

[عدل] مثال

جا 35 ≈ 0.5 + Sqrt ar.png3\ 2 × 3.1416×5\180 ≈ 0.5755

لو قارنا القيمة السابقة بالقيمة الأدق 0.5736 لوجدنا أن هناك توافق حتى المرتبة العشرية الثانية بعد الفاصلة.

[عدل] علاقات مقاربة باستعمال الاستيفاء

صورة_خارجية_لم_تظهر
دالة الخطأ بالدرجات أو التقدير الدائري لعلاقة الظل المستنبطة من قبل القرشي.

يمكن دراسة منحنى الدالة المثلثية ومقاربته بمنحنى دالة كثيرة حدود أو دالة نسبية للحصول على قيم مقاربة للدالة بدقة محدودة ولكن بطرق تطبيقية بسيطة.

توجد علاقة بسيطة تربط بين زاوية وظلها بشكل تقريبي بدرجة جيدة تقدم بها، محمد عبدالله سلطان القرشي بالصورة التالية

           135ظا هـ°
 هـ° = ـــــــــــــــــــــ ..... حيث تتحقق عند 0° ≤ هـ° ≤ 45°.
          2 + ظا هـ° 

وهي علاقة مفيدة بخطأ مطلق لا يتجاوز درجة واحدة في المجال المذكور. هناك أيضاً طرق أخرى يمكن استنباطها لتقريب دالة الظل مثل:

كذلك

                  2هـ°      
ظا هـ°= ــــــــــــــــــــــ 
               135 - هـ°
                  135ظا هـ°
 ظا هـ° = ــــــــــــــــــــــــ ..... حيث تتحقق بشكل جيد عند -45° ≤ هـ° ≤ 45°.
               8100 - هـ²

أو بدقة أقل ومجال أكبر عند

                  130ظا هـ°
 ظا هـ° = ــــــــــــــــــــــــ ..... حيث تتحقق بشكل جيد عند -60° ≤ هـ° ≤ 60°.
               8100 - هـ²

أو بدقة أقل كثيراً ومجال أكبر عند

                  115ظا هـ°
 ظا هـ° = ــــــــــــــــــــــــ ..... حيث تتحقق بشكل جيد عند -90° < هـ° < 90°.
               8100 - هـ²

لا يزال هناك نقاش حول هذا السؤال. الرجاء الإطلاع على صفحة النقاش.

[عدل] أسئلة ذات صلة

  • اثبت أن الجذر التربيعي لعدد طبيعي غير مربع كامل هو غير نسبي
  • ماهي معادله رسم مماسات منحنيه بين دائرتين في الرسم الهندسي؟
  • كيف تمكن العلماء القدماء من حل المسائل التي تحتوي على دوال مثلثية بدون آلة حاسبة
  • أوجد التكامل المعتل sinh(ax) / (e^(bx)-1) dx ∫ من 0 الى ملانهاية ؟
  • برهن أن مضروب الصفر يساوي 1
  • لغز الرجل وأعمار أبنائه الأربعه
  • اثبت أن مجموع مقاليب جيوب الزوايا في أحد أضلاعها المجاورة يساوي نصف المحيط مقسوماً على المساحة
  • حل المعادلات التفاضلية التامة
  • أوجد القاسم المشترك الأكبر لعددين 3417 و4539 بطريقة خوارزمية اقليدس
  • كيف يحل تكامل هـ^(أس) جتا(ب س) دس؟
  • أدوات شخصية

    المتغيرات
    النطاقات
    أفعال
    إبحار
    أسئلة وإجابات
    مجالات علمية
    مجالات ثقافية وترفيه
    صندوق الأدوات
    برامج تحتاجها