حل المعادلات التفاضلية التامة
من إجابة
كيف نعرف أن المعادلة التفاضلية تامة وكيف يمكن حلها؟
محتويات |
[عدل]
ستجد شرحاً مفصلاً على موقع الرياضيات رمز هنا، http://mathramz.com/math/first_order_exact_ode
المعادلة التفاضلية التامة هي معادلة تفاضلية اعتيادية بالصورة: \(P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0\) بحيث أن \[\frac{\partial F}{\partial x} = P(x,y)\quad\&\quad\frac{\partial F}{\partial y} = Q(x,y)\] وهذا يعني أن اشتقاقها الجزئي الثاني بالنسبة للآخر يجب أن يتعادل في الحالتين أي أن: \[\frac{\partial P(x,y)}{\partial y} =\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}\]
هذا النوع من المعادلات التفاضلية يمثل معادلة تفاضلية مكتملة ويكون حلها العام
- \(F(x,y) = C\)
أي قيمة ثابتة. لإيجاد الحل نقوم بمكاملة أحد المتغيرات كأن نحلها بالصورة \[\frac{\partial F}{\partial x} = P(x,y)\quad\Rightarrow F(x,y) =\int {P(x,y)dx} +\varphi (y)\] ثم نشتقها بدلالة المتغير الآخر لإيجاد قيمة \(\varphi (y)\) بالصورة
- \(\frac{\partial F}{\partial y} = Q(x,y)\quad\)
[عدل] مثال
بين أن المعادلة: \[\left( {2xy^3 + 2xy\cos (x^2 ) + ye^{xy} }\right)dx +\left( {3x^2 y^2 +\sin (x^2 ) + xe^{xy} + 9}\right)dy = 0\] تفاضلية تامة ثم جد حلها العام.
[عدل] الحل
\[\overbrace {\left( {2xy^3 + 2xy\cos (x^2 ) + ye^{xy} }\right)}^{P(x,y)}dx +\overbrace {\left( {3x^2 y^2 +\sin (x^2 ) + xe^{xy} + 9}\right)}^{Q(x,y)}dy = 0\] بالاشتقاق الجزئي حسب القاعدة نجد أن، \[\frac{\partial P(x,y)}{\partial y} = 2 x cos(x^2)+6 x y^2+e^{xy} (x y+1) =\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}\] أي أنها تفاضلية تامة ويكون حلها بمكاملة أحد المتغيرات وليكن المتغير السيني \[\begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial x} = P(x,y)\quad\\ \\ \Rightarrow F(x,y) =\int {\left( {2xy^3 + 2xy\cos (x^2 ) + ye^{xy} }\right)dx} +\varphi (y)\quad\Rightarrow\quad F(x,y) = x^2 y^3+y sin(x^2)+e^{xy} +\varphi (y)\\ \end{array}\] ولإيجاد ثابت المتغير الصادي نشتق بالنسبة له \[\begin{array}{l}\frac{\partial F}{\partial y} = Q(x,y)\Rightarrow 3 x^2 y^2+ sin(x^2)+x e^{xy} +\varphi '(y) = 3x^2 y^2 +\sin (x^2 ) + xe^{xy} + 9\;\Rightarrow\\ \\ \varphi '(y) = 9\Rightarrow\varphi (y) = 9y\\ \\ \end{array}\] وبالتعويض أخيراً يكون الحل العام بالصورة: \[x^2 y^3+y sin(x^2)+ 9y +e^{xy} =C\]
