مرحباً بك في إجابة - موسوعة الأسئلة والإجابات الحرة
اطرح سؤالاً:


طريقة نيوتن لحل نظام جبرى يتكون من متغيرين أو أكثر

من إجابة
اذهب إلى: تصفح، ابحث
Question red.png

سـؤال

كيف يمكن استخدام طريقة نيوتن في حل نظام جبري يتألف من متغيرين بالصورة $$f(x, y) = 0 , \quad g(x, y) = 0$$ وهل يمكن تعميمها لعدد $n$ من المتغيرات؟

[عدل]

رد

تعتبر هذه الطريقة امتداد لطريقة نيوتن رافسون في التحليل العددي (طالع طريقة نيوتن) ويمكن تعميمها لمتغيرين أو أكثر شريطة أن يكون لنا عدد من المعادلات لا يقل عن عدد المتغيرات أو المجاهيل. على سبيل المثال في حال المتغيرين، يجب توافر دالتين على الأقل كما طرح في السؤل هما: $f(x, y) = 0 , g(x, y) = 0$ بصفة عامة، لو أن لدينا مجموعة $n$ من المتغيرات و$n$ من المعادلات بالصورة $$\begin{align} f_1(x_1,\cdots , x_n) = 0 \\ f_2(x_1,\cdots, x_n) = 0 \\ \vdots \\ f_n(x_1,\cdots , x_n) = 0 \\ \end{align} $$ سنرمز لها بصورة مصفوفة أو متجه للتبسيط بالصورة $$\mathbf{f(x)} = 0$$ حيث

$$f(x) = \begin{bmatrix}f_1(x_1, \cdots , x_n) \\f_2(x_1,\cdots , x_n) \\ \vdots \\ f_n(x_1,\cdots , x_n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$$

إذا كانت هذه الدوال قابلة للاشتقاق بالقرب من جذرها $\hat{x}$ فإن بالإمكان تقريبها بالصورة $$f_i(x) = 0 \approx f_i(\hat{x}) + \sum_{j=1}^n (x_j-\hat{x_j}) \frac{\partial f_i(\hat{x_j})}{\partial x_j}$$

كما نرى فهي صورة مشابهة لطريقة نيوتن للمتغير الواحد مع فارق بسيط هو جمع ما تساهم به المتغيرات معاً.

تعرف مصفوفة المشتقات الجزئية $$\mathbf{J}=\mathbf{J(f(\hat{x}))} = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1(\hat{x})}{x_1} & \frac{\partial f_1(\hat{x})}{x_2}& \cdots & \frac{\partial f_1(\hat{x})}{x_n}\\ \frac{\partial f_2(\hat{x})}{x_1} & \frac{\partial f_2(\hat{x})}{x_2}& \cdots & \frac{\partial f_2(\hat{x})}{x_n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n(\hat{x})}{x_1} & \frac{\partial f_n(\hat{x})}{x_2}& \cdots & \frac{\partial f_n(\hat{x})}{x_n} \end{bmatrix}$$ بمصفوفة الجاكوبي للمشتقات الجزئية. عندئذ تتكون لدينا منظومة من المعادلات الخطية من المعادلة السابقة بالصورة $$ \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1(\hat{x})}{x_1} & \frac{\partial f_1(\hat{x})}{x_2}& \cdots & \frac{\partial f_1(\hat{x})}{x_n}\\ \frac{\partial f_2(\hat{x})}{x_1} & \frac{\partial f_2(\hat{x})}{x_2}& \cdots & \frac{\partial f_2(\hat{x})}{x_n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n(\hat{x})}{x_1} & \frac{\partial f_n(\hat{x})}{x_2}& \cdots & \frac{\partial f_n(\hat{x})}{x_n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (x_1-\hat{x_1}) \\(x_2-\hat{x_2}) \\ \vdots \\ (x_n-\hat{x_n}) \end{bmatrix} \approx \begin{bmatrix} -f_1(\hat{x}) \\ -f_2(\hat{x}) \\ \vdots \\ -f_n(\hat{x}) \end{bmatrix} $$ مرة أخرى يمكن ترميزها للتبسيط في صورة متجه $$\mathbf{J . (x -\hat{x})} = - \mathbf{f(\hat{x})}$$

يمكن أيضاً إبدال التعبير $(x -\hat{x})$ بالفرق $\Delta$

يتم المعادلات الخطية وتعويض القيمة الجديدة وتستمر هذه العملية حتى الدقة المنشودة.

الخوارزم في متغيرين[عدل]

لتكن لدينا مجموعة المتغيرين $$f(x, y) = 0 , \quad g(x, y) = 0$$ وليكن جذر الحل لها هو عند $x = \alpha, y= \beta$. بالتالي يكون خوارزم حلها بالطريقة التالي

  • اختر قيمة أولية تقريبية ولتكن $(x_0, y_0)$ للجذر $(\alpha, \beta)$
  • كرر العمليات التالية لعدد من المرات $i = 0, 1, 2, \cdots$
    • احسب الجاكوبي الخاص بدلالة المشتقات الجزئية

$$\mathbf{J}= \begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{bmatrix}$$

    • حل منظومة المعادلات الخطية التي تحقق الشرط

$$\begin{bmatrix}\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\Delta_x \\ \Delta_y\end{bmatrix} = - \begin{bmatrix}f(x_i,y_i) \\ g(x_i,y_i)\end{bmatrix}$$

    • احسب عاملي التصحيح $\Delta_x, \Delta_y$ الذين يحققان الشرط السابق. معنى ذلك أن قم بحل المعادلتين الخطيتين لإيجاد كل من $\Delta_x, \Delta_y$
    • عوض القيمة الجديدة $(x_{i+1}, y_{i+1})$ حيث

$$x_{i+1} = x_i + \Delta_x$$ $$y_{i+1} = y_i + \Delta_y$$

مثال[عدل]

لتكن لدينا مجموعة المتغيرين

$$f(x, y) = x + x^2y^2 - 2y + 3 = 0 $$ $$g(x, y) = y - x^3 + 2xy^2 - 2 = 0 $$

  • اختر قيمة أولية تقريبية ولتكن $(x_0, y_0)$ للجذر $(\alpha, \beta)$

ليكن جذرها الأولي$ (x_0, y_0) = (0, 1.5)$

تكون قيم الدالتين عندها هي

$$f(0, 1.5) = 0 + (0)^2(1.5)^2 - 2(1.5) + 3 = 0$$ $$g(0, 1.5) = 0 - (0)^3 + 2(0)(1.5)^2 - 2 = -0.5$$

تكون مشتقاتها الجزئية قرب الجذر (عند القيمة السابقة) بالصورة $$\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} = 1 + 2xy^2 = 1 + 2(0)(1.5^2) = 1$$ $$\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} =2 x^2y - 2 = 2 (0)^2(1.5) - 2 = -2$$ $$\frac{\partial g(x, y)}{\partial x}= -3 x^2 + 2y^2 = -3 (0)^2 + 2(1.5)^2 = 4.5$$ $$\frac{\partial g(x, y)}{\partial y} = 1 + 4xy = 1 + 4(0)(1.5) = 1$$ ويكون الجاكوبي الخاص بها عند الجذر الأولي السابق هو

$$\mathbf{J} = \begin{bmatrix}1& -2 \\ 4.5 & 1 \end{bmatrix}$$

    • قم بحل المعادلتين الخطيتين لإيجاد كل من $\Delta_x, \Delta_y$

$$\begin{bmatrix}1& -2 \\ 4.5 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Delta_x \\ \Delta_y\end{bmatrix} = - \begin{bmatrix}0 \\ -0.5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0 \\ 0.5\end{bmatrix}$$ يمكن حل المعادلتين إما بالتعويض أو الحذف أو بقاعدة كرامر كالتالي $$\Delta_x = \frac{\begin{vmatrix}0& -2 \\ 0.5 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1& -2 \\ 4.5 & 1 \end{vmatrix}}=\frac{1}{10} =0.1$$ $$\Delta_y = \frac{\begin{vmatrix}1& 0 \\ 4.5 & 0.5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1& -2 \\ 4.5 & 1 \end{vmatrix}}=\frac{0.5}{10} =0.05$$

    • عوض القيمة الجديدة $(x_1, y_1)$ حيث

$$x_1 = x_0 + \Delta_x =0 + 0.1 =0.1 $$ $$y_1 = y_0 + \Delta_y = 1.5 + 0.05 = 1.55$$

كرر الخطوات السابقة مع القيمة الجديدة كالتالي

تكون قيم الدالتين الجديدة عند $(0.1, 1.55)$ هي

$$f(0.1, 1.55) = 0.024025$$ $$g(0.1, 1.55) = 0.0295$$

تكون مشتقاتها الجزئية قرب الجذر (عند القيمة السابقة) بالصورة $$\frac{\partial f}{\partial x} = 1.4805$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = -1.969$$ $$\frac{\partial g}{\partial x} = 4.775$$ $$\frac{\partial g}{\partial y} = 1.62$$ ويكون الجاكوبي الخاص بها عند الجذر الأولي السابق هو

$$\mathbf{J} = \begin{bmatrix}1.4805& -1.969 \\ 4.775 & 1.62 \end{bmatrix}$$

    • قم بحل المعادلتين الخطيتين لإيجاد كل من $\Delta_x, \Delta_y$

$$\begin{bmatrix}1.4805& -1.969 \\ 4.775 & 1.62 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Delta_x \\ \Delta_y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-0.024025 \\ -0.0295\end{bmatrix}$$ $$\Delta_x =0.008220579243812815$$ $$\Delta_y =0.006020534499509947$$

    • عوض القيمة الجديدة $(x_1, y_1)$ حيث

$$x_2 = x_1 + \Delta_x =0.0917794207561872 $$ $$y_2 = y_1 + \Delta_y =1.55602053449951$$

وفي التكرار الثالث ستجد أن $$x_3 = 0.09181526005372523$$ $$y_3 = 1.5561142654245325$$

وفي التكرار الرابع $$x_4 =0.0918152556583849$$ $$y_4 = 1.55611426479301$$

وهي قيمة دقيقة حتى المرتبة الخامسة عشر بعد الفاصلة العشرية ويمكن التوقف على الجذر $(0.0918152556583849, 1.55611426479301)$

أسئلة ذات صلة[عدل]