مرحباً بك في إجابة - موسوعة الأسئلة والإجابات الحرة
اطرح سؤالاً:


ما هي العلاقة بين الحجم، المساحة والمحيط؟

من إجابة
اذهب إلى: تصفح، ابحث
Question red.png

سـؤال

لماذا تكون مشتقة حجم الكرة هي نفسها مساحتها السطحية ومشتقة مساحة الدائرة هي نفسها محيطها ولا يحدث نفس الشيء في المربع والأشكال الأخرى

[عدل]

رد

في الحقيقة جميع الأشكال الهندسية تخضع لنفس القاعدة التي تمر بها الكرة والدائرة ولكن الخطأ يكمن في نظرتنا لمفهوم الاشتقاق والتكامل نحو عنصر بعينه كأن نقول المشتقة في ص بالنسبة لـ س. عند الحديث عن المشتقات والتكاملات فإننا يجب أن ننسبها للمتغيرات ذات الصلة بغض النظر عن المتغيرات ذات الإحداثيات السينية والصادية. لما كانت الكرة والدائرة من حالات التماثل حول أقطارها فإن دراسة الأمر يكون سهلاً كثيراً مقارنة بالأشكال الأخرى.

كقاعدة عامة ولأي شكل هندسي، فإن المساحة السطحية لهذا الشكل الفراغي هي معدل التغير في حجم هذا الشكل إلى التغير في شعاعه الممتد من مركزه وكذلك فإن محيط الشكل الهندسي ثنائي الأبعاد هو معد التغير في مساحة سطحه إلى التغير في طول شعاعه. للتبسيط تخيل دالة مربعة الشكل تبدأ من قيمة نقطية صغيرة ثم تتمدد بحيث يكبر الشكل الهندسي. في كل مرة يكبر بها الشكل الهندسي نلاحظ أننا نضيف محيطاً بسمك معين فوق محيطه الحالي بغض النظر عن كونه مربعاً، مثلثاً أو غير ذلك ولكن يجب أن ننتبه لتعريف شعاع الانطلاق هنا. في المربع يمكننا مثلاً تقسيم العملية إلى أربعة مثلثات قائمة الزاوية تلتقي رؤوسها في مركز المربع ومن ثم يمكننا تخيل دالة الشعاع المنطلقة من مركز المربع لإيجاد مساحة المربع بدلالة محيطه أو العكس. لو بدأنا من دالة المساحة للحصول على المحيط فإننا سندرس معدل التغير في مساحة المربع (مساحة المربع الخارجي - مساحة المربع الداخلي) إلى التغير في شعاعه (دالة الشعاع هي دالة بين القطر وبين الضلع يمكن تعريفها إما مباشرة من الإحداثيات الكارتيزية أو بالانتقال إلى الإحداثيات القطبية). لاحظ من الرسم مباشرة أن معدل التغير في السطح الى التغير في الشعاع هو عبارة عن إطار مشتق من هذا السطح. يعرف شعاع المربع المنطلق من نقطة الأصل وبطول ضلع $a$ على أنه: $$r = \cases{ \sqrt{\frac{a^2}4+y^2} \quad, x=\pm a, \quad \frac a 2 > y >-\frac a 2\\ \sqrt{x^2+\frac{a^2}4} \quad, y=\pm a, \quad \frac a 2> x >-\frac a 2 }$$ إو بدلالة الإحداثيات القطبية أو الاسطوانية، $$ r =\cases { \frac a{2\cos\theta} \quad, \quad \frac{\pi}4\ge \tan^{-1}\theta \ge -\frac{\pi}4 \\ \\ \frac a{2\sin\theta} \quad, \quad \frac\pi 2 + \frac\pi 4> \theta \ge \frac\pi 4 \\ \\ \frac a{-2cos\theta} \quad, \quad\pi +\frac\pi 4\ge \tan^{-1}\theta \ge\pi-\frac{\pi}4\\ \\ \frac a{2\sin\theta} \quad, \quad \frac\pi 2 + \frac{\pi}4>\theta >\pi+\frac\pi2 } \\ \theta=\tan^{-1} \frac y x $$

للتبسيط وبدلالة الإحداثيات القطبية للمثلث الواقع في الجزء الموجب من محور السينات والمتماثل حول محور الصادات فإن مساحة هذا المثلث عندما تمتد الزاوية من $-\frac\pi 4$ إلى $\frac\pi 4$ هي ربع مساحة المربع أي $\frac{a^2}4$

لفهم ما يحدث عندما نقلص من مساحة المثلث يمكننا أن نتخيل الضلع الجانبي العمودي على محور السينات الموجب a يحاول الذهاب نحو نقطة الأصل متقلصاً في نفس الوقت الذي تبقى زاوية المثلث ممتدة بين $-\frac\pi 4$ و $\frac\pi 4$ أي ثابتة المشتقة بالنسبة للشعاع عندما تكون الزاوية ثابتة هي: $$\frac{\partial r}{\partial a} = -\frac 1{2\cos \theta}$$ بسبب التماثل فإن متوسط قيمة هذا التغير حول المحور السيني (أي حول الزاوية 0) تبقى دائماً ثابتة وبالتالي تكون المشتقة السابقة: $$\left.\frac{\partial r}{\partial a}\right|_{\theta=0} = \frac 1 2$$ بالتالي فإن معدل التغير في مساحة المربع $A=a^2$ إلى التغير في الشعاع هي 4 مضروبة في معدل التغير في مساحة أحد مثلثات المربع الأربعة إلى التغير في هذا الشعاع أي: $$\frac{\partial A}{\partial r} =\frac{\partial A}{\partial a} \times \frac{\partial a}{\partial r} = 4a$$ وهي بالفعل محيط المربع.

يمكن اشتقاق العلاقات بين المحيط والمساحة والحجم لأي شكل هندسي بنفس الكيفية ولكن المهم هو فهم ماهية الاشتقاق الذي يربط بين هذه العلاقات.

تطبيقات[عدل]

إذا كانت D منطقة بسيطة حدودها تحوي المنحيات C1، C2، C3, C4، يصبح تمثيل مبرهنة غرين ممكناً.

في الطبيعة فإن هذه العلاقات لها تطبيقاتها الشهيرة كما هو الحال عند دراسة العلاقة بين التيار الكهربائي المحصور في مساحة مقطعية من السلك وبين شدة المجال المغناطيسي المحيط بالسلك وتعرف هذه النظرية بقانون أمبير الدائري وهي عامة لأي مسار مغلق سواء أكان دائرياً، مربعاً عشوائياً أو منتظماً.

يمكن تعميم هذا التطبيق رياضياً لإيجاد علاقة بين التكامل الخطي حول منحنى بسيط مغلق C وبين التكامل الثنائي على منطقة مستوية D وتعرف هذه العلاقة الشهيرة بنظرية أو مبرهنة غرين كما يلي: \[\oint_{C} (L\, \mathrm{d}x + M\, \mathrm{d}y) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y.\] بل أنها هي أيضاً حالة خاصة من حالة أكثر عمومية تعرف بمبرهنة ستوك

بالمثل فإن مبرهنة غرين يمكن أيضاً توسيعها للانتقال إلى العلاقة بين السطح المغلق ثنائي الأبعاد وبين الحجم المحصور داخل هذا السطح عبر ما يعرف بمتطابقات غرين. للمهتمين يمكن هنا وضع المتطابقة الأولى رياضياتياً في صورة مبرهنة الانفراج أو مبرهنة غاوس.

أسئلة ذات صلة[عدل]